Practica 6

Del libro en PDF  Probabilidad y Estadística básica para ingenieros.

1.- Realizar los ejercicios en matlab 90,91.

2.-Ejercicios de la pag. 92 1,2,3.

3.-Ejercicios en matlab pag. 93,95,97,99.

4.-Ejercicios de la pag. 98 1,2,3.

5.-Ejercicios en matlab pag. 101,103

6.-Ejercicio pag. 103 1,2,3.

Distribución Ji-Cuadrada χ²

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:





tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:




donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:




Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada


Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.


El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).




La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:

para x>0


La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.





Cálculo de Probabilidad


El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplo
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.


Solución:


Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:





El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Practica 5

1.-Si se lanzan dos dados, uno rojo y otro negro, y se observa la pareja de numeros que quedan hacia arriba. Cuantos elementos tiene el espacio de eventos? Muestre el espacio muestral. Señale con colores el espacio muestral.

2.-En el experimento del lanzamiento de dos dados. Cual es la probabilidad de que:

a) La suma de los dos numeros sea 11 (Evento A).
b) Que los dos dados queden hacia arriba con el mismo numero (Evento B).

c) Que los dos valores sean pares (Evento C).





3.-En un plantel de estudiantes hay siete miembros distiguidos, entre quienes se va seliccionar, al azar, un comite de tres personas que los represente en la sociedad de alumnos. Observe que cada grupo que se forme con tres personas es una combinacion. Cual es el total de grupos que pueden formarse.

a) Cual es la probabilidad de que Pedro Perez, Juan Lopez y Daniel Rojas, constituyan dicho comite (Evento A).

b) Se desea calcular la probabilidad de que Pedro Perez, el estudiante mas distinguido, forme parte del comite (Evento B), es necesario calcular el numero n(B), de grupos que pueden formarse en los que se incluya a Pedro Perez.




4.-En una caja se tienen 15 focos, cinco de los cuales están fundidos (no encienden). Si se sacan tres focos al azar. Cual es la probabilidad de que ninguno de ellos este fundido (Evento K).




A.-En una sala se encuentran cinco matrimonios. Si se escogen dos personas al azar.

aCual es la probabilidad de que sean marido y mujer (Evento R).

.B Si las dos personas seleccionadas han de bailar con la otra, cual es la probabilidad de que un hombre baile con otro (Evento V).

C Calcular la probabilidad de seleccionar un hombre y una mujer (Evento A).

.D Calcule la probabilidad de seleccionar por lo menos a un hombre (Evento B).

E Calcule la probabilidad de no seleccionar ningun hombre (Evento C).





6.-De diez mujeres que toman un curso de probabilidades, tres nacieron en Guadalajara, Jalisco. Si se escogen al azar dos de las diez para resolver un problema en clase. Cual es la probabilidad de que:

1.-Las dos hayan nacido en Guadalajara (Evento G)
2.-Ninguna de las dos haya nacido en Guadalajara, Jalisco (Evento R).
3.-Solo una haya nacido ahi (Evento L).

Ejercicios del libro Introduccion a las probabilidades empleando excel

1) Analisis combinatorio
A) Factorial

Ejercicios 1, 2 y 3. pagina 1 y 2.




B) Permutaciones
ejercicios 1 y 2. pagina 3 y 4.





C) Combinaciones
ejercicios 1 y 2. pagina 5 y 6.

2) Conceptos basicos

A) Experimento.- Es toda accion sobre la cual vamos a realizar una medicion u observacion, es decir cualquier proceso que genera un resultado definido.

B) Experimento Aleatorio.- Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determionar con toda certeza ¿cual sera el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.


C) Espacio Muestral (S).- Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio muestral correspondiente a este experimento es: S={1, 2, 3 , 4 , 5, 6}.

D) Punto Muestral.- Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.

E) Evento o Suceso.- Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayusculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como "resultados favorables". Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que "ocurrio" un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podria ser que salga numero par. Definimos el evento de la siguiente maner: A= sale numero par= {2, 4, 6}, resultados favorables, n(E)=3


Los eventos pueden ser:
i) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.

ii) Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10.

iii) Evento probable o aleatorio.- Un evenoto es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldra el numero 3?

F) Probabilidad.- Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a traves de una escala de 0 a 1, donde el evento es de 1 (evento cierto).

La probabilidad de que ocurra un evento, siendo esta una medida de las posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empiricamente (de manera experimental) o teoricamente (de forma matematica).


i) Probabilidad empirica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entocnes la probabilidad empirica del evento E, que a veces se le denomina definicion de frecuencia relativa de la probabilidad, esta dada por la siguiente formula:



ejercicios 1 y 2. pagina 7 y 8.








ii) Probabilidad teorica.- Si todos los resultados en un espacion muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teorica del evento E esta dada por la siguiente formila, que aveces se le denomina la definicion clasica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoria analitica de la probabilidad publicada en 1812:

Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5. pagina 9 a la 15.

Correcion del Examen de la 4 Unidad

Practica 4

1.-Hacer el siguiente problema en matlab.

Al preguntarle a 60 personas por el numero de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:

2 3 4 4 1 2 3 3 4 2
2 1 3 3 6 2 4 4 1 3
4 6 3 2 4 5 3 1 5 2
1 4 3 2 3 6 4 1 6 5
3 4 2 1 5 5 2 2 1 5
6 4 5 2 3 3 1 2 3 6
1 4 2 3 3 5 5 2 6 1

a) Elabore la tabla de frecuencias y grafique histograma de frecuencias relativas.

b) Calcular media, mediana, varianza, desviacion estandar, rango, Q1, Q3, d1, d4, d8 y coeficiente de variacion.

2.-Hacer el siguiente problema en matlab.
Generar 100 valores en forma aleatoria en el rango del 1-500.

a) Elaborar la tabla de frecuencias y graficar la frecuencia absoluta
b) Calcular media, mediana, varianza, desviacion estandar, rango, Q1, Q3, d1, d4, d8 y coeficiente de variacion.

3.-Hacer el siguiente problema en matlab.
En una empresa de telefonia estan interesados en saber cual es el numero de aparatos telefonicos (incluidos telefonos moviles) que se tienen en las viviendas. Se hace la encuesta, y hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas.


4 2 4 2 3 2 2 3 4 1
3 4 4 2 3 1 2 3 2 3
2 1 3 2 1 3 2 1 4 3
3 1 2 1 3 2 3 2 4 1
3 1 2 2 4 3 2 3 5 2
2 2 1 1 4 1 1 3 3 1
3 2 3 2 2 1 2 1 4 3
1 1 2 2 3 2 3 2 4 4

a) Elabore la tabla de frecuencias y grafique poligono de frecuencias absolutas.
b) Calcular media, mediana, varianza, desviacion estandar, rango, Q1, Q3, d1, d4, d8, coeficiente de variacion.

4.-El presidente de la junta directiva afirma: "hay 50% de posibilidades de que esta compañia obtenga utilidades; 30% de que termine sin perdidas ni ganancias y 20% de que pierda dinero durante el proximo trimestre".

a) Aplique una de las reglas de la adicion para determinar la probabilidad de que la compañia no pierda dinero el siguiente trimestre.
b) Aplique la regla del complemeto para determinar la probabilidad de que no pierda dinero el proximo semestre.

5.-Suponga que la probabilidad de que saque A en esta clase es de 0.25 y que la probabilidad de obtener una B es 0.50.

¿Cual es la probabilidad de que su calificacion sea mayor que C?

6.-Se lanza al aire dos monedas si A es el evento dos caras y B es el evento dos cruces. A y B son mutuamente excluyentes? Son complementos?

7.-Las probabilidades de los eventos A y B son 0.20 y 0.30, respectivamente. La probabilidad de que A y B ocurranes de 0.15.

¿Cual es la probabilidad de que A o B ocurran?

8.-En una biblioteca que consta de 250 libros, 20 de ellos estan escritos en ingles y el resto en español.

¿Cual es la probabilidad de que un libro elegido al azar, entre los 250 de dicha biblioteca, este escrito en ingles?